La composition de fonctions


Définition: 

La fonction composée  (g o f ) de deux fonctions f et g est définie par:

(g o f )(x) = g(f(x))

Le domaine de définition de (g o f ) est l'ensemble de tous les x du domaine de définition de f tels que (x) est dans le domaine de g.

Ainsi donc à tout élément x de l'ensemble A, on applique successivement les 2 fonctions f puis g .




Exemple: 

Supposons que f (x) = x2  et  g(x) = 2x + 1 alors effectuons un tableau de valeurs de (g o f )(x) = g(f(x))

 

  x  →  f (x)  →  g(f (x))
-2
4
9
-1
1
3
0
0
1
1
1
3
2
4
9
x
x2
2x2 + 1

 


Le but de l'applet suivant est d'illustrer graphiquement la composition de ces 2 fonctions. Vous voyez apparaître dans l'ordre,   y = (x)   puis   y = g(x)   et leur composition   y = g((x)).

Vous pouvez déplacer le carré rouge sur l'axe des x sur le graphe de y = (x). Il définit ainsi une valeur a sur l'axe des x. A cette valeur correspond alors "une hauteur" (a) qui devient la valeur introduite dans la fonction y = g(x) et qui donne finalement g((a)).
On obtient donc les points (a ; (a)), ((a) ; g((a))), et donc sur la fonction composée (a ; g((a)))

  f (x) = x2
   g(x) = 2x + 1
g(f (x)) = 2x2 + 1

Et si on "inverse" l'ordre des opérations ?

  f (x) = 2x + 1
   g(x) = x2
g(f (x)) = (2x + 1)2

Vous observez donc que la composition de fonction n'est pas commutative.

 

Observons ceci maintenant sur quelques exemples de fonctions. Choisissez celles-ci en déroulant le menu puis en cliquant sur Load Example.

Et si on passait aux exercices.


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